隣の家から騒音で困っているとの手紙がポストに投函されていたのですが、どう対処したものか困っています。 前提として隣の奥さんは犬嫌いで以前も犬の鳴き声がうるさい

朝の四時と言っても、ドアの開け閉めと出発のエンジン音のみですよね？
しばらくエンジン吹かすわけでもないと思いますし、隣が気にしすぎでは？
勝手に神経質になってノイローゼになってるのは隣だと思う。
こちらも、ノイローゼになってしまいますよ。
謝罪とか必要ないのでは？
放置で良いと思います。
集合住宅ではなくて戸建てですか？
ワンちゃんに関しては今後も無駄吠えは控えさせてあげて、早朝や夜は窓を開けないようにして…という対策で良いかと思います。
あまりにも酷い騒音ならともかく、生活音にクレーム入れる人って精神病んでるか自己中だと思います。生活音が嫌なら周りに誰も住んでないど田舎の山の中で暮らせば良いのに。