子ども（10,9,3歳）います。シングルです。転居する場所を探してます。今年の3月まで市営住宅に住んでましたが、空き巣や光熱費や水道水（外の蛇口を使われていた）

あれもヤダ、これもできない、では、生活なんて成り立ちません。
第一優先はなにか？をまず考えてください。

安全性のある住まいが第一優先であれば、
ある程度治安が良くアパートも多い所に引っ越せばいい。
１階に住めば足音などで周囲に迷惑をかけることも少ないでしょう。
実際市営住宅にだって住んでいたわけだし。
転校は納得してもらいましょう。

子供を転校させないことが第一優先であれば、
市営住宅内で部屋を変えてもらえないか？などの交渉をするか、
自衛策でできる防犯対策をしっかりして市営に住み続ける覚悟をする。
お子さん３人の将来を考えたら、
住宅費はできるだけ安いほうがいいのは確かです。

仕事は現在正社員ですか？
パートや派遣などなら、都会に引っ越して働くというのもありだし、
逆に資格職なら他の場所でも正社員採用してもらえるのでは？