過去の養育費は諦めるしかないのでしょうか

お姉さん2 さんが言ってるのは債務承認と言うもので、一番良い方法だと思います。
相手には時効の事とかいっさい言わずに、とりあえず今までのすべての未払いの期間とその合計額を表にして、それを相手に見せてその債務を承認させるんです。
相手が未払い期間と合計金額を見て「いつか払うよ」でも、「わかった」でも構いません、金額を提示して、支払う意思を確認できれば成立します。そのやり取りを録音して証拠にし、出来れば文書で書かせたら完璧です。諦める前にダメもとでやってみたらいいんですよ。