新人の指導係を辞めたいです。 入社５年目で、４月から新卒の後輩の指導をしています。 自分の業務量も多い中、時間をかけて丁寧に説明してきたつもりです。

お気持ち、よくわかりますよ。

公務員ということは、ある程度の学習能力があって採用された筈なのに、中にはおかしな人がいますよね…。
一生懸命指導したとしても、相手が覚えようという気持ちがなければ、あなたの努力は水の泡になるわけだから、やる気を無くすのも当然です。
私の職場にも同じような人がいて、数ヶ月、懇切丁寧に面倒をみても本人の意識が弱く、どうにも使い物にならないのでみんな疲労困憊し、もう関わりにならないようにしている感じです。
みんな自分の仕事をこなす中、時間を作って面倒みているのに、本人がしっかり覚えて早く一人前になろうという意識がなければどうにもなりません。

あなたは責任感の強い方なんでしょうね。
でも、もう3ヶ月経っても成長の見られない人なんでしょう？このままでは、あなた自身が体調を崩しかねません。実情を上司に話して、今後の関わり方を相談するか、全く手を抜くかして、あまり真剣にならない方がいいと思いますよ。