左肩甲骨の下が痛くて息苦しい時が度々襲ってきます。内科ですかね、それとも整形外科でしょうかね。

先に内科に行った方が良いと思います。
息苦しいというのが気になります。

温めると痛みが和らいだり、下を向いたり背中のストレッチをすると痛みが増すなら整形かなと思いますが。

確かに柔整師が主さんの身体を診ればどっちへ行けば良いか判断できます。
ですが..別件で通院中で、ちょっとした相談ならちょっとだけサービスで診てくれると思いますが初診でかかる場合、傷めた原因がないと保険適用にならないです。
接骨院で健康保険が使えるのは約2週間以内に受傷した外傷です。
診たところ、ゴルフのしすぎによる疲労骨折・筋損傷(不適当な例えですが)と判断されたら結果オーライですがね