中途入社の部下についてです。 面接時から前の会社（田舎の中小企業）ではこれだけの改善や成果を上げた的なアピール満載でした。 自信とやる気満々なのはいいのです

やりにくい人ですねえ。

プライドを傷つけたって、入ってまもない部下に指導しただけなのに。
まあ、質問者さんがどんな言い方をしたのか、わかりませんが。

私は逆で、前の会社の社長が部長である私に全く確認せずに、私を飛び越えて部下に指示をだし、その話が私に全然伝わらず困惑した経験があります。

明らかにずれた指示で、部下に相談されて、私が社長に話をしました。
どうして社長が私の意見をきかないといけないのかとか、自分がえらいから指示に従うのは当然だと言われました。

まずは部長である私に話を通すのも筋ではないかと言ったのですが、全然聞く耳もってくれませんでした。

組織で働くことって、難しいですね。
私も上司を飛び越えて上に訴えるのは、入社したばかりのその部下さんが謙虚さがないと思うし、当時の私の社長も組織の仕組みをわかってないダメ社長でした。