あの、私犬が欲しくて、この土日、飼い主さんがもう飼えないからって理由で飼い主を探してる子を預かってみたんです。私にはすごい懐いてくれて、でも他の家族には怒ったり

保護団体さんからお試しで預かったということでしょうか？
でしたら、里親が見つからなかったからといってワンちゃんを保健所に回してしまうということはないと思いますね……。

ワンちゃんを飼うにはご家族の協力あってこそですから、まずはご家族が納得されてからが良いかもしれませんね。心配な気持ちも分かりますが、そのおじいさんおばあさんが飼い主としてふさわしいかどうかは、保護団体さんがきちんとチェックしてくださるのではないでしょうか。
もしかしたら面倒を見てくれるお子さん達がいらっしゃるのかもしれませんし。

ちなみに保健所でも里親の募集はしますよ。むやみに殺してしまう訳ではありません。それでも殺処分になってしまうのは、気質や病気のせいで人間が飼育することがどうしても難しいとされる子達を泣く泣く……という場合が多いようです(獣医学生なので、保健所に実習に行ってました)。