お仕事が覚えきれず、そろそろ潮時かと 思ってしまいます。 仕事をはじめ今年の6月で2年です。 　 自分の場合石の上にも5年くらい気長に かまえない

覚えようと努力していることなどが伝われば、あなたは信頼されていくまたはされていると思いますよ。(表面上厳しいことを言っても、期待しているからこそってこともあります。そうでないなら相手がおかしいだけで、あまり気に病むことないです。あなたが圧を感じるようなら良くないんですが、正直「これはダメだ」と思われてる人にはそんなこと言いません。)

エラー対応は、経験が必要であることは周囲もわかっていると思います。実際起こらないとどうにもならない部分が多いですから。

時には、覚えられないことを考えて反芻することも大事ですが 持ち帰ることはおすすめ出来ません。
忙しい上に、仕事が難しいと思っている→持ち帰って覚えよう
これは、どうせ持ち帰ることになるから業務中にやらなくていいやとグダグダ先延ばしにするキッカケになりかねないうえ、家でも仕事のことを考え気が休まる暇がありません。

どうしても持ち帰りが発生する仕事の人もいますが、基本的には仕事の時間内でどうにかする意識は崩さないほうがいいです。
帰ってからでいいや、となると効率的な仕事からは遠ざかります。
そもそも、社内の情報を持ち帰ることはあまり良くはありません(または禁止されてることも多いはず)
家では休む事も仕事のうちだと思ってください。それをあまりにも蔑ろにする会社なら辞めた方がいいです。自分の心や体は自分でしか守れません。心身ともに健康で、まず穴開けず元気に出勤することが貢献のひとつですから。