旦那が私の親戚の新年会に行かないと言っています。 旦那は私の母とソリが合わず、定期的に険悪なムードになっています。今まさにそのタイミングで、子供たち2人産まれ

お正月の新年会は、クリスマスとは違うのではと思います。
そのお正月に行きたくないとは、よほどの事なのでしょう。

ただ、やはりお正月は節目です。
一年で一番大きな節目に挨拶をしないのは、どうなのかと思います。

旦那さんのお気持ちも分かるので、一緒に行って挨拶だけして、旦那さんは用があるからとそれだけで帰られてはいかがでしょう。
形式的に顔も立ちますし、長居をしなければ衝突もしないでしょう。

嘘も方便、です。
例え見え透いた嘘でみんなに本音が分かっていても、そこは大人の対応で「忙しい中お疲れ様でした」となるのではないでしょうか。