義母の介護をするようになってから、旦那から協力してもらえない場合は、旦那の兄弟に相談して、特老に入ってもらうように説得したほうが良いと思いますか。

大変ですね。
お義母さんのご様子はどんなで、要介護度はどれくらいでしょう？

私も要介護1の義母の介護に週三回、一年ほど通っていました。
足腰が悪くなり自宅で過ごせなくなったため、義母自身が同居を望まなかったので施設にお世話になることになりました。
実務はすべて私でしたが、私も義母が大好きだったし主人が私の頑張りを認めてくれていたので続けられるのだと思います。

主さんの場合は、旦那さんがすべて主さんに任せきりで労ってもくれないのが辛いですね。
施設については、まずは旦那さんと相談すべきではと思います。
それでらちが明かないなら、旦那さんのご兄弟に相談、という順序の方がいいのではないかと思います。