今の会社から、やめるなら半年前に言ってくれと言われています。 ５年ほど勤めた今の会社を退職したいと思っております。理由としては、毎日２２時くらいまで残業しない

就活は、自宅でネットでもある程度は出来ます。
いつからと決めなくても、平行して進めれば良いと思います。
どんなタイミングで合う求人が出るかわかりませんから、早めに始めて損はないかと。

就業開始日は新しい職場と相談でしょうけど、辞める会社に既に辞めたいと伝えてあるなら｢次が決まったので｣と言えば、退職日が多少早まっても、仕方ない理由だと思います。

退職の意思と、新しい職場に転職の意思があって応募するのだから、面接の時に退職済みになっても変じゃないと思いますよ。