ペットクリニックに自分の犬連れてきてる人が犬怖い可能性はゼロですよね？ 僕の子何もしてないのに「抱いててください」言われたんですが…

そういうことではありません。
飼い主が具合が悪いのではなく、動物の、です。

飼い主自身は具合が悪くなくても、不安だったり緊張していたりすることはあるでしょう。
病院全体に、そういった雰囲気が漂っています。
動物はそうした雰囲気に敏感です。
飼い主や周りの緊張を感じ取って、動物自身がナーバスになることはあると思います。
そういう状態の動物はちょっとした刺激に過敏に反応したり、興奮したりします。
そうならないために、刺激から動物を守り、安心させるために抱かせるのではないですか？

また、主さんの犬は落ち着いていても、他の犬が興奮して向かってくるかもしれません。
公園と同じようににおいを嗅ごうとしたら相手の犬に噛まれた、というようなことが起こらないためでもあると思います。