新人の方がミスとも言えないような本当に小さなミスをして、すごく反省して何度も謝っていたのでその度に「誰も気にしてないので◯◯さんも気にしなくて大丈夫ですよ」等言

小さなミスでも気にする人は実はプライドの高い人です。
そういう人は自分の行動を批判的に言われると、自分が嫌われていると思いがちなので、おそらくこれ以上傷つきたくなくて距離を置いてるのでしょう。

次に何かしてもらったときにうまくできてたら「すごくいいですよ。今回は完璧でしたね」等、すこし過剰気味にほめておいてあげましょう。
相手のプライドを傷つけず、大丈夫なんだと思わせる言い回しが大事です。