昨日母親に「(亡くなった)婆ちゃんが360万の借金残してたみたいやから私らで返金しないといけないみたい」と市役所から大金借りてたという話を聞かされました。

キチンと話を詰めなければ、何も分かりませんね。

先ず、市役所から借金というのが、おかしい。
直接お母さんに会って、書類なり何なりを見せてもらう。
市役所に確認する。
最低限、これだけはすべきです。
後は、その書類や情報をもとに、法テラス等専門機関に相談することです。

例え本当にお祖母さんに借金があったにしても、主さんに返済義務はありません。