毎回毎回、業務の振り分けを決める時に これは◯◯さんにはできないから これは◯◯さんがやりたくないから と言う理由で回ってくるのばかり割り振られるのって嫌

職場風土もあると思うのですが、実際に「やりたくないから」と言ってる人もいるなら、自分だってやりたくないこともあるけどやってるという主張をすることはかまわないんじゃないでしょうか。
自分の中で溜め込んで我慢してても周囲の人は気づかないかもしれませんし、いきなり爆発しても変な人と思われるだけなので、ある程度の自己主張はしたほうがいいですよ。
そのほうが結局はストレスを減らして長く働き続けることができますし。
がんばって！